Можно ли не признать президентом Америки Бадена, а признать индийского вождя?

Да мало ли. Меркель, например, или королева Великобритании.

Так в том то и дело , что ни Меркель , ни Елизавета II не решают , кто будет Президентом США.

Это политика ,которой руководит экономика , а точнее , олигархи. И "вдруг" тут не бывает.