Алексей Заславский
Это такая складная шляпа-цилиндр
Спасибо за хороший вопрос.

головной старинный убор
Не очень старинный. Вы правы -головной убор. Надо скорректировать вопрос.
А что такое-ЧЕБУРАШКА?
Что за манера, вопросом на вопрос. Вы не воспитаны, Но я вас прощаю.
Шляпа плоская...
Ну, она высокая может быть , а хлопнешь по ней, она становится плоской...