Богатырь - от тюркского Бахадыр (имя такое есть у всех тюрков на Земле). Значение одинаковое.

+ лаваш, зелень и панырь

Кто бы сомневался. Уж вам не знать))

Это верно. Кстати, и у монголов с бурятами тоже Батор - это Богатырь, хотя они и не тюрки.

Близкие соседи. Этого уже хватает, чтоб заимствовать слова

Наверняка.